Cette simulation permet de se familiariser avec l'influence des paramètres les plus importants qui conditionnent l'orbite d'un satellite.
Ces paramètres sont :
- la position initiale (x,y)
- la vitesse initiale (vx,vy)
- la constante de gravitation (G)
- la masse de la terre (M)
Cette simulation met en œuvre la terre et un satellite artificiel (de masse négligeable par rapport à la terre)
Connaissant la position initiale du satellite et sa vitesse à l'apogée (ou au périgée), la question est de calculer son orbite :
- la distance au périgée (ou à l'apogée)
- les axes de l'ellipse
- l'excentricité
- la période de révolutionau moyen de la formule de Képler
L'apogée ou du périgée seront notés Z1 et Z2 sans spécifier qu'il s'agit de l'un ou de l'autre.
Notations :
- G Constante gravitationnelle
- M Masse de la terre
- a demi grand-axe de l'ellipse
- b demi petit-axe de l'ellipse
- T période de rotation
- Z1 distance initiale Terre-Satellite
- x abscisse du satellite par rapport à la terre
- y ordonnée du satellite par rapport à la terre
Pour mémoire, la terre occupe un des foyers de l'ellipse.
Paramètres mesurés>
La distance terre-satellite est calculée par D = (x2+y2)1/2
L'apogée et le périgée (Z1 et Z2) sont mesurés en prenant le maximum et le minimum de D
Le temps est égal au nombre de cycles de calcul.
Il est remis à zéro chaque fois que le satellite passe à droite de la terre (y=0 et x>0)
La période T mesurée est évidemment égale au temps quand le satellite a fait un tour complet
Paramètres calculés
Le demi-grand axe de l'ellipse est simplement
a = (Z1+Z2)/2
L'excentricité de l'ellipse est donnée par
e = 1 - Z1/a
Le demi-petit axe de l'ellipse est donné par
b = a (1-e2)1/2
La distance entre le centre de l'ellipse et un foyer (la terre) vaut
c=(a2-b2)1/2
L'apogée est évidemment
Z1= a+c
... et le périgée
Z2= a-c
La période est calculée par la formule de Képler
P = (4.pi2.a3/M/g)1/2
La correspondance entre la période mesurée et la période calculé est bonne, sauf quand le périgée est très petit
(si la vitesse est trop grande, le déplacement entre chaque cycle de calcul est trop important
et la simulation perd de sa précision)
Conclusion : Képler a raison !
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Exercice
A l'aide des flèches « arrondir » la trajectoire pour avoir une excentricité aussi petite que possible.
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